En differentialligning

En differentialligning er en ligning, hvori en eller flere afledede af en funktion $ y = f(x) $ indgår.

Enhver funktion, der passer i ligningen, kaldes en løsning til ligningen, og dens graf kaldes en løsningskurve eller en integralkurve. Mængden af samtlige løsninger kaldes den fuldstændige løsning.

Separation af variable

Hvis $h$ og $g$ er kontinuerte funktioner i intervallerne henholdsvis $I$ og $J$, og således at $g(y) \neq 0$, da gælder $${ \begin{aligned} y &= f(x) \text{ er en løsning til } \frac{dy}{dx} = h(x) \cdot g(y) \Leftrightarrow \\ \\ y &= f(x) \text{ er en løsning til } \int \frac{1}{g(y)} dy = \int h(x) dx + k, k \in R \end{aligned} }$$

Randproblem og begyndelsesværdier

For at finde specifikke løsninger har vi brug for at kende begyndelsesbetingelser eller andre konkrete informationer, der giver mulighed for at bestemme konstanter i løsningerne.

Linjeelement

Hvis det om en funktion $f$ gælder, at $ f(x_0) = y_0 $ og $ f'(x) = a$, siger man, at $f$ går gennem linjeelementet $ (x_0, y_0; a) $.

Typer af differentialligninger

Type	Fuldstændig løsning
$ \begin{aligned} y' &= ky \\ \\ f'(x) &= k \cdot f(x) \\ \\ \frac{dy}{dx} &= ky \end{aligned} $	$ y = ce^{kx} $
$ \begin{aligned} y' &= ay + b \\ \\ f'(x) &= a \cdot f(x) + b \\ \\ \frac{dy}{dx} &= ay + b \end{aligned} $	$ y = - \frac{b}{a} + ce^{ax} $
$ \begin{aligned} y' &= ky(a - y) \\ \\ f'(x) &= k \cdot f(x) (a - f(x)) \\ \\ \frac{dy}{dx} &= ky (a - y) \end{aligned} $	$ y = \frac{a}{1 + ce^{-kax}} $
$ \begin{aligned} y' &= y (b - ay) \\ \\ f'(x) &= f(x) (b - a \cdot f(x)) \\ \\ \frac{dy}{dx} &= y (b - ay) \end{aligned} $	$ y = \frac{ \frac{b}{a}}{1 + ce^{-bx}} $

Type	Fuldstændig løsning
\( \begin{aligned} y' &= ky \\ \\ f'(x) &= k \cdot f(x) \\ \\ \frac{dy}{dx} &= ky \end{aligned} \)	\( y = ce^{kx} \)
\( \begin{aligned} y' &= ay + b \\ \\ f'(x) &= a \cdot f(x) + b \\ \\ \frac{dy}{dx} &= ay + b \end{aligned} \)	\( y = - \frac{b}{a} + ce^{ax} \)
\( \begin{aligned} y' &= ky(a - y) \\ \\ f'(x) &= k \cdot f(x) (a - f(x)) \\ \\ \frac{dy}{dx} &= ky (a - y) \end{aligned} \)	\( y = \frac{a}{1 + ce^{-kax}} \)
\( \begin{aligned} y' &= y (b - ay) \\ \\ f'(x) &= f(x) (b - a \cdot f(x)) \\ \\ \frac{dy}{dx} &= y (b - ay) \end{aligned} \)	\( y = \frac{ \frac{b}{a}}{1 + ce^{-bx}} \)