Processing math: 0%

Regneregler for grænseværdier

${ \begin{aligned} \lim_{x \rightarrow a} k \text{ (konstant) } &= k \\ \\ \lim_{x \rightarrow a} x &= a \\ \\ \lim_{x \rightarrow a} k \cdot f(x) &= k \cdot \lim_{x \rightarrow a} f(x) \\ \\ \lim_{x \rightarrow a} g(x) \pm f(x) &= \lim_{x \rightarrow a} g(x) \pm \lim_{x \rightarrow a} f(x) \\ \\ \lim_{x \rightarrow a} g(x) \cdot f(x) &= \lim_{x \rightarrow a} g(x) \cdot \lim_{x \rightarrow a} f(x) \\ \\ \lim_{x \rightarrow a} \frac{g(x)}{f(x)} &= \frac{\lim_{x \rightarrow a} g(x)}{\lim_{x \rightarrow a} f(x)} \end{aligned} }$

Hvornår er funktioner kontinuerte?

Når

${ \lim_{x \rightarrow a^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = f(a) }$ i hele funktionens definitionsmængde.

Følgende kombinationer af kontinuerte funktioner

$f(x) + g(x)$
$f(x) − g(x)$
$f(x) \cdot g(x)$
$\frac{f(x)}{g(x)}\quad, g(x) \neq 0$
$f(g(x))$ og $g(f(x))$

er alle kontinuerte.

En sekant

er en ret linje, som skærer en funktion i to punkter og har forskriften:

${ (y - y_1) = \alpha (x - x_1) \Rightarrow \\ \\ y = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} (x - x_1) + f(x_1) }$ Sekantens hældning er et udtryk for funktionens gennemsnitsstigning.

Tretrinsreglen

er en generel metode til at bestemme differentialkvotienter.

Bestem funktionstilvæksten $\Delta y$ for en lille tilvækst $\Delta x$ . ${ \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) }$
Opstil differenskvotienten $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ . ${ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \alpha = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} }$ Reducér udtrykket mest muligt, således at trin tre er lettere at gennemføre.
Bestem differentialkvotienten $f'(x)$ . ${ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} }$

Differentiabilitet

Når

${\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x) }$ siges funktionen

$f(x)$ at være differentiabel i

$x_0$ . Hvis grænseværdien kan findes for alle

$x \in \mathrm{Dm}(f)$ , siges funktionen generelt at være differentiabel.

Elementære funktioners afledede funktion

$f(x)$	$f'(x)$
$k$	$0$
$ax$	$a$
$x^n$	$n · x^{n−1}$
$a^x \quad a>0, a \neq 1$	$\ln (a) \cdot a^x$
$\cos (x)$	$-\sin(x)$
$\sin (x)$	$\cos (x)$
$\tan (x)$	$1 + (\tan (x))^2 = (\cos (x))^{-2}$

Andre vigtige funktioner og deres afledede

$f(x)$	$f'(x)$
$f(x) = e^x$	$f'(x) = e^x$
$f(x) = \ln (x)$	$f '(x) = x^{−1} =\frac{1}{x}$
$f(x) = \log (x)$	$f '(x) = (x \cdot \ln (10))^{-1} =\frac{1}{\ln(10)}\cdot \frac{1}{x}$
$f(x) = \log_a (x)$ Hvor a er logaritmens grundtal	$f '(x) = (x \cdot \ln (a))^{-1}=\frac{1}{\ln(a)}\cdot \frac{1}{x}$

Regneregler ved differentiation

$h(x) = k \cdot f(x) \Rightarrow h'(x) = (k · f(x))' = k · f'(x)$
$h(x) = f(x) \pm g(x) \Rightarrow h'(x) = (f(x) \pm g(x) )' = f'(x) \pm g'(x)$
$h(x) = f(x) \cdot g(x) \Rightarrow h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \Rightarrow h'(x) = \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$
$h(x) = f \circ g(x) = f(g(x)) \Rightarrow h'(x) = \left( f(g(x)) \right)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
Eller skrevet på en anden måde:
$h'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \text{ hvor } u = g(x)$

Rolles sætning

For en funktion

$f(x)$ , der er kontinuert i intervallet

$[a;b]$ og differentiabel i

$]a;b[$ og hvor

$f(a) = f(b)$ gælder følgende:

Der findes mindst ét tal $c$ tilhørende intervallet $]a;b[$ så $f '(c) = 0$ .

Middelværdisætningen

For en funktion

$f(x)$ , der er kontinuert i intervallet

$[a;b]$ og differentiabel i

$]a;b[$ , gælder følgende:

Der findes mindst ét tal $c$ tilhørende intervallet $]a;b[$ , hvor ${f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}}$

Cauchys middelværdisætning

Hvis to funktioner

$f(x)$ og

$g(x)$ begge er differentiable i intervallet

$[a;b]$ , eksisterer der et tal

$c$ i samme interval, hvorom der gælder:

${\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} }$

L'Hôpitals regel

${ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} }$ hvor

$a$ kan være talværdier eller

$\pm \infty$ . Betingelsen for at ovenstående gælder, er

at både f og g er differentiable.
at enten $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{x \rightarrow a} g(x) = 0$ eller $\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{x \rightarrow a} g(x) = \infty$

Tangentligningen

En differentiabel funktion

$f(x)$ har i punktet

$(x_0 , f(x_0))$ en tangent til grafen med ligningen:

${ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) }$

Maksimum og minimum

Maksimum:

${ f'(x) > 0 \text{ for } x \rightarrow x_0^- }$ og

${ f'(x) < 0 \text{ for } x \rightarrow x_0^+ }$

Minimum:

${ f'(x) < 0 \text{ for } x \rightarrow x_0^- }$ og

${ f'(x) > 0 \text{ for } x \rightarrow x_0^+ }$

Vendetangent og vendepunkter

Hvis

$f ''(x) = 0$ er der tale om et vendepunkt, hvor der optræder en vendetangent.

Funktionsanalyse

Definitionsmængde og værdimængde.
Skæringspunkter med akserne.
Fortegnsvariation for funktionen, herunder opstilling af fortegnsskema.
Monotoniforhold, herunder opstilling af skema for monotoniintervaller.
Ekstrema – minimum- og maksimumpunkter.
Grænseværdier for funktionen hvor denne ikke er kontinuert.
Asymptoter – lodrette, vandrette og skrå.
Skitsering af graf.

Det approksimerende førstegradspolynomium

Hvis

$f(x)$ er en differentiabel funktion, kaldes

${ p(x) = f'(x)(x - x_0) + f(x_0) }$ for det approksimerende førstegradspolynomium.

Optimering

Handler om at finde funktionsudtryk, der beskriver et bestemt fænomen (for eksempel rumfang af et objekt).

Maksimum- og minimumpunkter angiver de største og de mindste egenskaber (for eksempel det største rumfang).