Regneregler for grænseværdier
$${ \begin{aligned}
\lim_{x \rightarrow a} k \text{ (konstant) } &= k \\
\\
\lim_{x \rightarrow a} x &= a \\
\\
\lim_{x \rightarrow a} k \cdot f(x) &= k \cdot \lim_{x \rightarrow a} f(x) \\
\\
\lim_{x \rightarrow a} g(x) \pm f(x) &= \lim_{x \rightarrow a} g(x) \pm \lim_{x \rightarrow a} f(x) \\
\\
\lim_{x \rightarrow a} g(x) \cdot f(x) &= \lim_{x \rightarrow a} g(x) \cdot \lim_{x \rightarrow a} f(x) \\
\\
\lim_{x \rightarrow a} \frac{g(x)}{f(x)} &= \frac{\lim_{x \rightarrow a} g(x)}{\lim_{x \rightarrow a} f(x)}
\end{aligned} }$$
Hvornår er funktioner kontinuerte?
Når
$${ \lim_{x \rightarrow a^-} f(x) = \lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = f(a) }$$
i hele funktionens definitionsmængde.
Følgende kombinationer af kontinuerte funktioner
- \(f(x) + g(x)\)
- \(f(x) − g(x)\)
- \(f(x) \cdot g(x)\)
- \(\frac{f(x)}{g(x)}\quad, g(x) \neq 0\)
- \(f(g(x))\) og \(g(f(x))\)
er alle kontinuerte.
En sekant
er en ret linje, som skærer en funktion i to punkter og har forskriften:
$${ (y - y_1) = \alpha (x - x_1) \Rightarrow \\
\\
y = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} (x - x_1) + f(x_1) }$$
Sekantens hældning er et udtryk for funktionens gennemsnitsstigning.
Tretrinsreglen
er en generel metode til at bestemme differentialkvotienter.
- Bestem funktionstilvæksten \(\Delta y\) for en lille tilvækst \(\Delta x\).
$${ \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) }$$
- Opstil differenskvotienten \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\).
$${ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \alpha = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} }$$
Reducér udtrykket mest muligt, således at trin tre er lettere at gennemføre.
-
Bestem differentialkvotienten \(f'(x)\).
$${ f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} }$$
Differentiabilitet
Når
$${\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = f'(x) }$$
siges funktionen \(f(x)\) at være differentiabel i \(x_0\). Hvis grænseværdien kan findes for alle \(x \in \mathrm{Dm}(f)\), siges funktionen generelt at være differentiabel.
Elementære funktioners afledede funktion
| \(f(x)\) |
\(f'(x)\) |
| \( k \) |
\( 0 \) |
| \( ax \) |
\( a \) |
| \( x^n \) |
\( n · x^{n−1} \) |
| \( a^x \quad a>0, a \neq 1 \) |
\( \ln (a) \cdot a^x \) |
| \( \cos (x) \) |
\( -\sin(x) \) |
| \( \sin (x) \) |
\( \cos (x) \) |
| \( \tan (x) \) |
\( 1 + (\tan (x))^2 = (\cos (x))^{-2} \) |
Andre vigtige funktioner og deres afledede
| \(f(x)\) |
\(f'(x)\) |
| \( f(x) = e^x \) |
\( f'(x) = e^x \) |
| \( f(x) = \ln (x) \) |
\( f '(x) = x^{−1} =\frac{1}{x}\) |
| \( f(x) = \log (x) \) |
\( f '(x) = (x \cdot \ln (10))^{-1} =\frac{1}{\ln(10)}\cdot \frac{1}{x}\) |
\( f(x) = \log_a (x) \)
Hvor a er logaritmens grundtal |
\( f '(x) = (x \cdot \ln (a))^{-1}=\frac{1}{\ln(a)}\cdot \frac{1}{x} \) |
Regneregler ved differentiation
-
\(h(x) = k \cdot f(x) \Rightarrow h'(x) = (k · f(x))' = k · f'(x) \)
-
\(h(x) = f(x) \pm g(x) \Rightarrow h'(x) = (f(x) \pm g(x) )' = f'(x) \pm g'(x) \)
-
\(h(x) = f(x) \cdot g(x) \Rightarrow h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \)
-
\(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} \Rightarrow h'(x) = \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} \)
-
\(h(x) = f \circ g(x) = f(g(x)) \Rightarrow h'(x) = \left( f(g(x)) \right)' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)
Eller skrevet på en anden måde:
\(h'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \text{ hvor } u = g(x) \)
Rolles sætning
For en funktion \(f(x)\), der er kontinuert i intervallet \([a;b]\) og differentiabel i \(]a;b[\) og hvor \(f(a) = f(b)\) gælder følgende:
Der findes mindst ét tal \(c\) tilhørende intervallet \(]a;b[\) så \(f '(c) = 0\).
Middelværdisætningen
For en funktion \(f(x)\), der er kontinuert i intervallet \([a;b]\) og differentiabel i \(]a;b[\), gælder følgende:
Der findes mindst ét tal \(c\) tilhørende intervallet \(]a;b[\), hvor
$${f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}}$$
Cauchys middelværdisætning
Hvis to funktioner \(f(x)\) og \(g(x)\) begge er differentiable i intervallet \([a;b]\), eksisterer der et tal \(c\) i samme interval, hvorom der gælder:
$${\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} }$$
L'Hôpitals regel
$${ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} }$$
hvor \(a\) kan være talværdier eller \(\pm \infty\). Betingelsen for at ovenstående gælder, er
-
at både f og g er differentiable.
-
at enten \(\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{x \rightarrow a} g(x) = 0\) eller \(\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \lim_{x \rightarrow a} g(x) = \infty\)
Tangentligningen
En differentiabel funktion \(f(x)\) har i punktet \((x_0 , f(x_0))\) en tangent til grafen med ligningen:
$${ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) }$$
Maksimum og minimum
Maksimum:
$${ f'(x) > 0 \text{ for } x \rightarrow x_0^- }$$
og
$${ f'(x) < 0 \text{ for } x \rightarrow x_0^+ }$$
Minimum:
$${ f'(x) < 0 \text{ for } x \rightarrow x_0^- }$$
og
$${ f'(x) > 0 \text{ for } x \rightarrow x_0^+ }$$
Vendetangent og vendepunkter
Hvis \(f ''(x) = 0\) er der tale om et vendepunkt, hvor der optræder en vendetangent.
Funktionsanalyse
-
Definitionsmængde og værdimængde.
-
Skæringspunkter med akserne.
-
Fortegnsvariation for funktionen, herunder opstilling af fortegnsskema.
-
Monotoniforhold, herunder opstilling af skema for monotoniintervaller.
-
Ekstrema – minimum- og maksimumpunkter.
-
Grænseværdier for funktionen hvor denne ikke er kontinuert.
-
Asymptoter – lodrette, vandrette og skrå.
-
Skitsering af graf.
Det approksimerende førstegradspolynomium
Hvis \(f(x)\) er en differentiabel funktion, kaldes
$${ p(x) = f'(x)(x - x_0) + f(x_0) }$$
for det approksimerende førstegradspolynomium.
Optimering
Handler om at finde funktionsudtryk, der beskriver et bestemt fænomen (for eksempel rumfang af et objekt).
Maksimum- og minimumpunkter angiver de største og de mindste egenskaber (for eksempel det største rumfang).