Implicit differentiation
Implicit differentiation er en metode til at differentiere et udtryk, hvor den afhængige y-værdi ikke er udtrykt eksplicit af et funktionsudtryk. Metoden anvendes på ligninger af typen \(f(x, y) = 0\). Hovedreglen er, at de almindelige differentiationsregler gælder, blot skal den variable \(y\) betragtes som en sammensat funktion. En hurtig metode til bestemmelse af \(y'\) fås ved CAS-anvendelse af følgende udtryk
$${ \frac{dy}{dx} = \frac{-\frac{df(x, y)}{dx}}{\frac{df(x, y)}{dy}} }$$
Den naturlige eksponentialfunktion
har følgende differentialkvotient og stamfunktion
$${ f(x) = e^x \Rightarrow f'(x) = e^x \text{ og } F(x) = e^x }$$
Altså funktionen selv.
Naturlig logaritme
Den omvendte funktion til \(e^x\) har følgende differentialkvotient
$${ f(x) = \ln(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} }$$
Eksponentialfunktioner
Har følgende differentialkvotient
$${ f(x) = a^x \Rightarrow f'(x) = a^x \cdot \ln(a) }$$
Asymptoter
En vandret asymptote er en ret linje \(l_v:\ y = k\), hvorom der gælder
$${ \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = k \text{ eller } \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = k }$$
En lodret asymptote er en ret linje \(l_l :\ x = k\), hvorom der gælder:
$${ \lim_{x \rightarrow k^-} f(x) = \pm \infty \text{ eller } \lim_{x \rightarrow k^+} f(x) = \pm \infty }$$
En skrå asymptote er en ret linje \(l_s :\ y = ax + b\), hvorom der gælder :
$${ \lim_{x \rightarrow \infty} \left( f(x) - (ax + b) \right) = 0 \text{ eller } \lim_{x \rightarrow -\infty} \left( f(x) - (ax + b) \right) = 0 }$$
Hvor \(f\) er en kontinuert funktion.
Polynomiumsbrøker og skrå asymptoter
En funktion \(f\) med en forskrift som en polynomiumsbrøk med følgende udseende
$${ f(x) = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_0 x^0 + a}{b_{n-1} x^{n-1} + b_{n-2} x^{n-2} + \ldots + b_0 x^0 + b} , a_n \neq 0 , b_{n-1} \neq 0 }$$
har en skrå asymptote med hældningen \(\alpha = \frac{a_n}{b_{n-1}}\).