Nedre og øvre heltalsværdi
Et tals nedre heltalsværdi er tallet rundet ned til nærmeste hele tal og skrives således:
$${ \left\lfloor x \right\rfloor }$$
Et tals øvre heltalsværdi er tallet rundet op til nærmeste hele tal og skrives således:
$${ \left\lceil x \right\rceil }$$
Division med rest, modulo
I divisionen:
$${ \frac{a}{b}, \text{ hvor } a,b \in \mathbb{N} \text{ og } a \ge b }$$
beregnes resten \(r\) som:
$${ r=a\bmod b = a - b \cdot \left\lfloor {\frac{a}{b}} \right\rfloor }$$
Addition af talfølger
Lad \({a}\) og \({b}\) være talfølger med det samme antal elementer \(n\), hvor \(n = 1, 2, 3,\ ...\)
Så er summen:
$${ \{ a\} + \{ b\} = \{ {a_1} + {b_1},{a_2} + {b_2} + ,.., + {a_n} + {b_n}\} }$$
Multiplikation af et tal med en talfølge
Lad \(\{ a\} = \{ {a_1},{a_2},..{a_n}\} \) være en talfølge, hvor:
$${ n = 1,2,3,... }$$
og lad \(\alpha\) være et reelt tal, hvor:
$${ \alpha \in \mathbb{R} }$$
Så vil produktet:
$${ \alpha \{ a\} = \{ \alpha {a_1},\alpha {a_2},..,\alpha {a_n}\} }$$
Linearkombination af talfølger
Lad \(\{ a\} = \{ {a_1},{a_2},..,{a_n}\}\) og \(\{ b\} = \{ {b_1},{b_2},..,{b_n}\}\)
hvor:
$${ n = 1,2,3... }$$
være talfølger.
Lad \(\alpha\) og \(\beta\) være relle tal, hvor:
$${ \alpha ,\beta \in \mathbb{R} }$$
Så kaldes:
$${ \alpha \{ a\} + \beta \{ b\} }$$
for en linearkombination af talfølgerne \({a}\) og \({b}\).
Lineær homogen rekursionsligning af k'te orden
$${ {x_{n}} = {a_1} \cdot {x_{n-1}} + {a_2} \cdot {x_{n - 2}} + .. + {a_k} \cdot {x_{n - k}} }$$
kaldes en lineær homogen rekursionsligning af k'te orden.
hvor
$${ {a_1},{a_2}...,{a_k} \in \mathbb{R} }$$
og
$${ {a_k} \ne 0 }$$
Karakterligning og det karakteristiske polynomium
En homogen lineær rekursionsligning af k'te orden:
$${ x_n = {a_1}{x_{n - 1}} + {a_2}{x_{n - 2}} + ... + {a_k}{x_{n - k}} }$$
hvor
$${ n = 1,2,3... }$$
har karaktérligningen
$${ {r^k} - {a_1}{r^{k - 1}} - {a_2}{r^{k - 2}} - ... - {a_k} = 0 }$$
og det karakteristiske polynomium
$${ {r^k} - {a_1}{r^{k - 1}} - {a_2}{r^{k - 2}} - ... - {a_k} }$$
Den generelle løsning til homogen lineær rekursionsligning af k'te orden
En homogen lineær rekursionsligning af k'te orden har den generelle løsning:
$${ {x_n} = {b_1}{{r_1}^n} + {b_2}{{r_2}^n} + .. + {b_k}{{r_k}^n} }$$
hvor \( b_{i \leqslant k} \in \mathbb{R}, {b_k} \ne 0\) og \( n = 1,2, 3... \)
hvis og kun hvis der er \(k\) forskellige reelle rødder i det karakteristiske polynomium.
Løsningen til en homogen, lineær rekursionsligning,m hvor en eller flere rødders multiplicitet er større end 1
Lad:
$${ x_n = {a_1}{x_{n - 1}} + {a_2}{x_{n - 2}} + .. + {a_k}{x_{n - k}} }$$
være en homogen lineær rekursionsligning af k'te orden, hvor det karakteriske polynomium har k reelle rødder.
$${ n = 1, 2, 3, ...}$$
Multipliciteten for den \(i\)'te rod betegnes \(m_i\), hvor \(i = 1,2, 3...\) .
Løsningen til rekursionsligningen kan da skrives som en linearkombination af løsningerne:
$${ \begin{aligned}
{x_{n1}} &= {r_1}^n + n{r_1}^n + ... + {n^{({m_1} - 1)}}{r_1}^n \\ \\
{x_{n2}} &= {r_2}^n + n{r_2}^n + ... + {n^{({m_2} - 1)}}{r_2}^n \\ \\
... \\ \\
{x_{nj}} &= {r_j}^n + n{r_j}^n + ... + {n^{({m_i} - 1)}}{r_j}^n
\end{aligned} }$$
hvor \(j \leqslant k\).
Newton-Raphsons metode til numerisk ligningsløsning
Lad \(f(x)\) være en differentiabel funktion, og lad \(x_0\) være en begyndelsesværdi.
En løsning til ligningen \(f(x) = 0\) kan da, i nogle tilfælde, findes ved hjælp af talfølgen
$${ {x_n} = {x_{n - 1}} - \frac{{f({x_{n-1}})}}{{f'({x_{n-1}})}} }$$
hvor
$${ n = 1,2,3... }$$
og
$${ f'({x_n}) \ne 0 }$$
Eulers metode til numerisk løsning af differentialligninger
Ved en numerisk løsning til differentialligningen
$${ \frac{{dy}}{{dx}} = f(x,y) }$$
i intervallet
$${ a \leqslant x \leqslant b }$$
kan værdier af den afhængige variabel findes af talfølgen
$${ {y_n} = f({x_{n-1}},{y_{n-1}})h + {y_{n-1}} }$$
Størrelsen \(h\) kaldes skridtlængden.
Talfølgen med de tilhørende uafhængige variable findes af
$${ {x_n} = {x_{n - 1}} + h }$$
hvor \(x_0 = a\) og hvor \(n = 1, 2, 3, ...\)
Runge-Kuttas metode af 4. orden til numerisk løsning af differentialligninger
Ved en numerisk løsning til differentialligningen
$${ \frac{{dy}}{{dx}} = f(x,y) }$$
i intervallet:
$${ a \leqslant x \leqslant b }$$
kan værdier af den afhængige variabel findes af talfølgen
$${ {y_n} = {y_{n - 1}} + \frac{h}{6}\left( {{k_1} + 2{k_2} + 2{k_3} + {k_4}} \right) }$$
hvor
$${\begin{aligned}
{k_1} &= f\left( {{x_{n - 1}},{y_{n - 1}}} \right) \\ \\ {k_2} &= f\left( {{x_{n - 1}} + \frac{h}{2},{y_{n - 1}} + \frac{h}{2}{k_1}} \right) \\ \\
{k_3} &= f\left( {{x_{n - 1}} + \frac{h}{2},{y_{n - 1}} + \frac{h}{2}{k_2}} \right) \\ \\
{k_4} &= f\left( {{x_{n - 1}} + h,{y_{n - 1}} + h{k_3}} \right)
\end{aligned} }$$
Størrelsen \(h\) kaldes skridtlængden.
Talfølgen med de tilhørende uafhængige variable findes af
$${ {x_n} = {x_{n - 1}} + h }$$
hvor \(x_0 = a\) og hvor \(n = 1, 2, 3, ...\)