FUNKTION

En funktion forstås som en beskrivelse af sammenhængen mellem en uafhængig variabel $x$ og en afhængig variabel $f(x)$.

Det gælder, at der til én værdi af den uafhængige variabel $x$ kun findes én værdi af den afhængige variabel $f(x)$.

MONOTONI

$f$ er voksende i et interval, hvis $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$.

$f$ er aftagende i et interval, hvis $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.

$f$ er konstant, hvis $f(x) = k$ i hele definitionsmængden.

$f$ kaldes monoton, hvis den er enten voksende eller aftagende i hele definitionsmængden.

Et monotoniinterval for $f$ er et interval, hvori $f$ er monoton eller konstant.

LINEÆR FUNKTION

$${ f(x) = a \cdot x + b }$$ Ligefrem proportionalitet: $${ y = k · x}$$ Vinkel mellem to linjer: $${ v = \cos ^{-1} \left( \frac{1 + a_1 \cdot a_2}{\sqrt{1^2 + a_1^2} \cdot \sqrt{1^2 + a_2 ^2}} \right) }$$

PARABLEN, ANDENGRADSPOLYNOMIET

$${ f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c\quad, a \neq 0 }$$

Diskriminant:

$${ d = b2 − 4 · a · c }$$ Hvis $a > 0$, vender parablens grene opad – hvis $a < 0$, vender grenene nedad.

Tallet $x_0$ er en rod, hvis $f(x0) = 0$.

Der er to rødder, hvis diskriminanten, $d > 0$ : $${ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4a \cdot c}}{2 \cdot a} }$$ Der er én rod, hvis $d = 0$ : $${ x = \frac{-b}{2 \cdot a} }$$ Der er ingen rødder, hvis $d < 0$.

Hvis $\alpha$ og $\beta$ er rødder i andengradspolynomiet $f(x) = a · x^2 + b · x + c$, kan polynomiet skrives som: $${ f(x) = a \cdot (x - \alpha) \cdot (x - \beta) }$$

Toppunkt:

$${ T = \left( -\frac{b}{2 \cdot a}, -\frac{D}{4 \cdot a} \right) }$$ En parabel af typen $f(x) = a · (x − p)^2 + q$ har toppunktet: $${ T = (p , q) }$$

Brændpunkt:

$${ Q = (0, \frac{1}{4 \cdot a} + c) }$$

Ledelinje:

$${ y = c - \frac{1}{4 \cdot a} }$$

HYPERBLEN, RECIPROKFUNKTIONEN

$${ f(x) = \frac{1}{x} \quad , x \neq 0 }$$

Omvendt proportionalitet:

$${ f(x) = \frac{k}{x}\quad , x \neq 0 }$$ En hyperbel, der er symmetrisk omkring linjerne $x = a$ og $y = b$, har forskriften $${ f(x) = \frac{k}{x - a} + b }$$

POTENSFUNKTIONER

$${ f(x) = x^a }$$

LIGE OG ULIGE FUNKTIONER

Ved en lige funktion $f(x)$ gælder, at $f(x) = f(−x)$.

Ved en ulige funktion $g(x)$ gælder, at $g(x) = −g(−x)$.

POLYNOMIER

Polynomium af n-te grad: $${ f(x) = a_n · x^n + a_{n−1}· x^{n−1} + a_{n−2}· x^{n−2}+...+a_0 \quad , hvor\ a_n \neq 0 }$$ Tallet $x_0$ er en rod, hvis $f(x_0) = 0$ .

Et n-te grads polynomium har højst n rødder.

SAMMENSATTE FUNKTIONER

Funktionerne $f(x)$ og $g(x)$ kan sammensættes til $f(g(x))$ og $g(f(x))$.

OMVENDT (INVERS) FUNKTION

Visse funktioner $f$ har omvendte funktioner $f^{−1}$. Deres graf ligger symmetrisk om linjen $y = x$ i forhold til grafen for $f$.

Ved sammensætning ophæver $f$ og $f^{−1}$ hinanden, dvs. $${ f(\ f^{−1}(x)\ ) = x }$$ og $${ f^{−1}(\ f(x)\ ) = x }$$

EKSPONENTIALFUNKTION

Forskrift

$${ f(x) = a^x \quad ,\ a>0 }$$

Definitionsmængde:

$${ Dm(f) = \mathbb{R}}$$

Værdimængde:

$${ Vm(f) = ]0;\infty[ }$$ $f(x)$ er voksende, hvis $a > 0$.
$f(x)$ er aftagende, hvis $0 < a < 1$.

DEN NATURLIGE EKSPONENTIALFUNKTION

Forskrift

$${ f(x) = e^x\quad , hvor\ e = 2,718...}$$

TITALS-LOGARITME

Forskrift

$${ f(x) = \log (x) }$$ , grundtal 10, idet $\log (10) = 1$.

$f(x)$ er den omvendte funktion til eksponentialfunktionen $10^x$.

DEN NATURLIGE LOGARITME

Forskrift

$${ f(x) = \ln(x) }$$ , med grundtallet $e$ idet $\ln(e) = 1$.

$f(x)$ er den omvendte funktion til eksponentialfunktionen $e^x$.

Definitionsmængde:

$${ Dm(\log) = Dm(\ln) = ]0;\infty[ }$$

Værdimængde:

$${ Vm(\log) = Vm(\ln) = ]- \infty ; \infty[ }$$

LOGARITMISKE REGNEREGLER

$\log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b)$	$\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)$
$\log (\frac{a}{b}) = \log (a) - \log(b)$	$\ln (\frac{a}{b}) = \ln (a) - \ln(b)$
$\log(a^n) = n \cdot \log(a)$	$\ln(a^n) = n \cdot \ln(a)$
$\log (\sqrt[n]{a^b}) = \log(a^{\frac{b}{n}}) = \frac{b}{n} \cdot \log(a)$	$\ln (\sqrt[n]{a^b}) = \ln(a^{\frac{b}{n}}) = \frac{b}{n} \cdot \ln(a)$
$\log (x) = k \Leftrightarrow x = 10^k$	$\ln (x) = k \Leftrightarrow x = e^k$
$10^{\log (x)} = x,\ \log(10^x) = x$	$e^{\ln (x)} = x,\ \ln(e^x) = x$

LOGARITMISKE KOORDINATSYSTEMER

En funktion af typen $f(x) = b · a^x$ afbildes som en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem, hvor y-aksen er inddelt i dekader.

En funktion af typen $f(x) = b · x^a$ afbildes som en ret linje i et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem, hvor begge akser er inddelt i dekader.

EKSPONENTIELLE LIGNINGER

$${ b = a^x \Leftrightarrow x = \frac{\log (b)}{\log(a)} = \frac{\ln(b)}{\ln(a)} }$$

EKSPONENTIEL UDVIKLING

Forskrift

$${ f(x) = b · a^x }$$

Definitionsmængde:

$${ Dm(f) = \mathbb{R} }$$

Værdimængde:

$${ Vm(f) = ]0 ; \infty[ }$$

Fremskrivningsfaktor:

$${ a}$$

Vækstrate:

$${ r = a − 1 }$$

Fordoblingskonstant:

$${ T_2 = \frac{\log (2)}{\log(a)}\quad ,\ a>1 }$$

Halveringskonstant:

$${ T_{\frac{1}{2}} = \frac{\log(\frac{1}{2})}{\log(a)}\quad , a<1}$$

TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER

Sinus:

$${ f(x) = \sin (x)}$$ , $Dm(f) = \mathbb{R}$, $Vm(f) = [-1 ; 1] $, periode: $2\pi$

Cosinus:

$${ f(x) = \cos (x) }$$ , $Dm(f) = \mathbb{R} $, $Vm(f) = [-1 ; 1]$, periode: $2\pi$

Tangens:

$${ f(x) = \tan (x) }$$ , $Dm(f) = \mathbb{R}$, $Vm(f) = \mathbb{R}$, periode: $\pi$

DEN HARMONISKE SVINGNING

$${ f(t) = a \cdot \sin (\omega \cdot t + \phi )}$$ er en harmonisk svingning.

Her er:
Amplitude: $a$
Vinkelhastighed: $\omega$
Faseforskydning: $\phi$
Udsving til tiden $t = 0$ : $${ f(0) = a \cdot \sin(\phi) }$$ Svingningstid, periode: $${ T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega} }$$ Frekvens: $${ f = \frac{1}{T} }$$

LYD

Lydstyrke:

$${ L = 10 \cdot \log \left( \frac{I}{I_0} \right) \text{dB} }$$ $I$ er intensiteten og $I_0 = 10^{-12} \frac{\text{W}}{\text{m}^2}$ er høregrænsen.

Afstandsformlen:

$${ I = \frac{P}{4 \cdot \pi \cdot r^2} }$$ $P$ er effekten, og $r$ er afstanden fra en punktformet lydkilde.

POLÆRE KOORDINATER

Ved omregning fra polær form, $(r,\theta)$, til retvinklet form bruges: $${ \begin{aligned} x &= r \cdot \cos(\theta) \\ y &= r \cdot \sin(\theta) \end{aligned} }$$ Ved omregning fra retvinklet form $(x, y)$ til polær form bruges: $${ r = \sqrt {{x^2} + {y^2}} }$$

Kvadrant	1	2	3	4
Vinkel $\theta$	$\tan ^{-1}\left( \frac{y}{x} \right)$	$\tan ^{-1}\left( \frac{y}{x} \right) + \pi$	$\tan ^{-1}\left( \frac{y}{x} \right) - \pi$	$\tan ^{-1}\left( \frac{y}{x} \right)$

\(\log(a \cdot b) = \log(a) + \log(b)\)	\(\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)\)
\(\log (\frac{a}{b}) = \log (a) - \log(b)\)	\(\ln (\frac{a}{b}) = \ln (a) - \ln(b)\)
\(\log(a^n) = n \cdot \log(a)\)	\(\ln(a^n) = n \cdot \ln(a)\)
\(\log (\sqrt[n]{a^b}) = \log(a^{\frac{b}{n}}) = \frac{b}{n} \cdot \log(a)\)	\(\ln (\sqrt[n]{a^b}) = \ln(a^{\frac{b}{n}}) = \frac{b}{n} \cdot \ln(a)\)
\(\log (x) = k \Leftrightarrow x = 10^k\)	\(\ln (x) = k \Leftrightarrow x = e^k\)
\(10^{\log (x)} = x,\ \log(10^x) = x\)	\(e^{\ln (x)} = x,\ \ln(e^x) = x\)

Kvadrant	1	2	3	4
Vinkel \(\theta\)	\(\tan ^{-1}\left( \frac{y}{x} \right)\)	\(\tan ^{-1}\left( \frac{y}{x} \right) + \pi\)	\(\tan ^{-1}\left( \frac{y}{x} \right) - \pi\)	\(\tan ^{-1}\left( \frac{y}{x} \right)\)