Stamfunktion

Givet en kontinuert funktion \(f(x)\). Hvis \(F(x)\) er en stamfunktion til \(f(x)\), vil alle stamfunktioner til \(f(x)\) være givet ved: $${ F(x) + k }$$ Hvor \(k\) er en konstant tilhørende \(\mathbb{R}\).

Når vi differentierer en stamfunktion og derved danner funktionen \(f(x)\), er stamfunktionen korrekt. $${ F'(x) = \int f'(x) dx = f(x) }$$ Metoden kaldes for integrationsprøven.

Regneregler ved integration

  1. \( \int f(x) + g(x) dx = F(x) + G(x) \)

  2. \( \int f(x) - g(x) dx = F(x) - G(x) \)

  3. \( \int c \cdot f(x) dx = c \cdot F(x) = c \cdot \int f(x) dx \)

Udvalgte funktioners stamfunktioner

Funktion Stamfunktion
\(f(x)\) \(F(x)\)
\( a \) \( ax + k \)
\( x \) \( \frac{1}{2} x^2 + k \)
\( x + a \) \( \frac{1}{2}x^2 + ax + k \)
\( x^n , n \neq -1 \) \( \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + k \)
\( \frac{1}{x} = x^{-1} \) \( \ln |x| + k \)
\( \cos (x) \) \( \sin (x) + k \)
\( \sin (x) \) \( -\cos (x) + k \)
\( \tan (x) \) \( - \ln |\cos (x) | + k \)
\( a^x, a > 0 , a \neq 1 \) \( \frac{a^x}{\ln (a)} + k \)
\( \cos^2 (x) \) \( 0,5 ( x + \sin (x) \cdot \cos (x)) + k \)
\( a^{bx} \) \( \frac{a^{bx}}{b \cdot \ln (a)} + k \)
\( x · a^x \) \( \frac{a^x \cdot (x \cdot \ln(a) - 1)}{(\ln(a))^2} + k \)

Stamfunktioner og konstanten k

En stamfunktion \(F(x) + k\) defineret i et interval \([a,b]\) har én og kun en graf, som går i gennem et givet punkt \((x_0 , y_0)\), hvor \(x_0\) tilhører intervallet \([a,b]\).

Det bestemte integral

Grænseværdien $${ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \sum_{i = 1}^{n} f(x_i) \Delta x }$$ for en kontinuert funktion \(f(x)\) defineret i intervallet \([a,b]\) kaldes for det bestemte integral og skrives som $${ \int_a^b f(x) dx }$$

Infinitesimalregningens fundamentalsætning

For en funktion \(f(x)\) der er kontinuert i intervallet \([a,b]\), gælder $${ \int_{a}^{b} f(x) dx = \left[ F(x) \right]_{a}^{b} = F(b) - F(a) }$$

Regneregler for bestemte integraler

Der gælder følgende regneregler for bestemte integraler: $${ \int_{a}^{a} f(x) dx = 0 }$$ $${ \int_{a}^{b} f(x) dx = - \int_{b}^{a} f(x) dx }$$ $${ \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx =\int_{a}^{c} f(x) dx }$$

Arealberegning

Arealet imellem grafen til en kontinuert positiv funktion \(f\) og x-aksen samt de lodrette linjer \(x = a\) og \(x = b\) findes som $${ A = \int_{a}^{b}f(x) dx = F(b) - F(a) }$$ For den negative funktion i et tilsvarende interval findes arealet som $${ A = - \int_{a}^{b} f(x) dx = \left| \int_{a}^{b} f(x) dx \right| = F(a) - F(b) }$$

Arealet imellem to grafer

Arealet imellem to kontinuerte funktioner \(f\) og \(g\) i intervallet \([ a , b ]\), hvor \(f(x) \geq g(x)\), findes således: $${ A_{f - g} = \int_{a}^{b} f(x) - g(x) dx }$$

Integralregningens middelværdisætning

For en kontinuert funktion \(f (x)\) findes der et tal \(c\) i et interval imellem \(a\) og \(b\), således at: $${ f(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) dx }$$ Den fundne funktionsværdi kaldes for funktionens middelværdi i intervallet.