Afstandsformlen
$${ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} }$$
Midtpunktet imellem to kendte punkter
Midtpunktet imellem punkterne \(A(x1, y1)\) og \(B(x2, y2)\) bestemmes ved:
$${ M = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}(x_1 + x_2) \\ \frac{1}{2} (y_1+y_2) \end{pmatrix} }$$
Hældningen af den rette linje igennem to kendte punkter
Hældningen af den rette linje igennem punkterne \(A(x1 , y1)\) og \(B(x2 , y2)\) bestemmes ved:
$${ a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} }$$
Den rette linje beskrevet på tre forskellige måder
- \(\quad y = ax + b \)
- \(\quad y − y_0 = a(x − x_0) \)
- \(\quad ax + by + c = 0 \)
I ligning 1 er \(a\) lig med linjens hældning. Når \(a=0\), er linjen vandret.
I ligning 2 er \(a\) også hældningen, og linjen går gennem \( (x_0,y_0) \).
Når \(b\) er lig 0 i ligning 3, er linjen lodret, hvilket svarer til \( x = k \).
Ortogonale linjer
To linjer er ortogonale eller vinkelrette, når følgende gælder om deres hældninger \(a\) og \(c\):
$${ ac = -1 }$$
Afstand fra punkt til linje
Afstand fra punkt \((x_1, y_1)\) til linjen \(y = ax + b\):
$${ \text{dist}(P,m) = \frac{|ax_1 + b - y_1|}{\sqrt{a^2 + 1}} }$$
Cirkel
En cirkel beskrives ved ligningen:
$${ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 }$$
hvor \((a, b)\) er cirklens centrum og \(r\) radius.
Cirkeltangenter
En cirkeltangent er ortogonal med den tilhørende radie i cirklen. Derfor bestemmes tangentlinjen ved at finde hældningen vha. formlen for ortogonale linjer:
$${ a \cdot c = - 1 }$$
Skæringspunkter
Skæringspunkter imellem cirkel-cirkel, linje-cirkel, linje-linje findes ved at sætte ligningerne lig med hinanden og løse to ligninger med to ubekendte.