Punkt og stedvektor
Punkt:
$${ A = (A_x, A_y, A_z) }$$
Stedvektor:
$${ \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix} }$$
Vektor mellem to punkter
Punkter:
$${ A = (A_x, A_y, A_z) \text{ og } B = (B_x, B_y, B_z) }$$
Vektor:
$${ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} B_x \\ B_y \\ B_z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B_x - A_x \\ B_y - A_y \\ B_z - A_z \end{pmatrix} }$$
Længden af en vektor
Vektor:
$${ \vec{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} }$$
Længde:
$${ \left| \vec{a} \right| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} }$$
Enhedsvektor
Vektor:
$${ \vec{a} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} }$$
Enhedsvektor:
$${ \overrightarrow{e_a} = \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\ \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\ \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \end{pmatrix} }$$
Prikprodukt
Vektorerne:
$${ \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \text{ og } \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} }$$
Prikproduktet:
$${ \vec{a} \bullet \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 }$$
Vinklen mellem to vektorer
Vektorerne:
$${ \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \text{ og } \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} }$$
Vinkel mellem vektorerne:
$${ \cos (v) = \frac{\vec{a} \bullet \vec{b}}{\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|} }$$
$${ v = \cos^{-1} \left(\frac{\vec{a} \bullet \vec{b}}{\left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right|} \right) }$$
Projektion
Vektorerne:
$${ \vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \text{ og } \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} }$$
Projektion af \(\vec{a}\) på \(\vec{b}\):
$${ \vec{a_b} = \frac{\vec{a} \bullet \vec{b}}{\left| \vec{b} \right| ^2} \cdot \vec{b} }$$
Linjens parameterfremstilling, punkt og retningsvektor
En linje, som går gennem punktet:
$${ P_0 = (x_0, y_0, z_0) }$$
og som har retningsvektoren:
$${ \vec{r} = \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{pmatrix} }$$
er givet ved parameterfremstillingen:
$${ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{pmatrix} }$$
hvor \(t \in \mathbb{R}\) er en parameter (variabel).
Linjens parameterfremstilling, to punkter
En linje, som går gennem punkterne:
$${ A = (A_x, A_y, A_z) \text{ og } B = (B_x, B_y, B_z) }$$
kan beskrives ved parameterfremstillingen:
$${ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} B_x - A_x \\ B_y - A_y \\ B_z - A_z \end{pmatrix} }$$
hvor \(t \in \mathbb{R}\) er en parameter (variabel).
Punkt på linje
Et punkt:
$${ Q = (Q_x, Q_y, Q_z) }$$
er beliggende på en linje med parameterfremstillingen:
$${ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{pmatrix} }$$
hvis:
$${ \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + \frac{Q_x - x_0}{r_x} \cdot \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Q_x \\ Q_y \\ Q_z \end{pmatrix} }$$
Vindskæve linjer
To ikke-parallelle linjer er vindskæve, hvis de ikke har et skæringspunkt.
Planens parameterfremstilling, et punkt og to vektorer
Et plan, som indeholder et punkt:
$${ P_0 = (x_0, y_0, z_0) }$$
og som udspændes af to ikke parallelle vektorer:
$${ \overrightarrow{r_1} = \begin{pmatrix} r_{1x} \\ r_{1y} \\ r_{1z} \end{pmatrix} \text{ og } \overrightarrow{r_2} = \begin{pmatrix} r_{2x} \\ r_{2y} \\ r_{2z} \end{pmatrix} }$$
beskrives ved parameterfremstillingen:
$${ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0} \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} r_{1x} \\ r_{1y} \\ r_{1z} \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} r_{2x} \\ r_{2y} \\ r_{2z} \end{pmatrix} }$$
Planens parameterfremstilling, tre punkter
En plan, som udspændes af punkterne:
$${ A = (A_x, A_y, A_z) \text{, } B = (B_x, B_y, B_z) \text{ og } C = (C_x, C_y, C_z) }$$
er givet ved parameterfremstillingen:
$${ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_x \\ A_y \\ A_z \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} B_x - A_x \\ B_y - A_y \\ B_z - A_z \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} C_x - A_x \\ C_y - A_y \\ C_z - A_z \end{pmatrix} }$$
Punkt i planen
Et punkt:
$${ Q = (Q_x, Q_y, Q_z) }$$
er beliggende i planen med parameterfremstillingen:
$${ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} r_{1x} \\ r_{1y} \\ r_{1z} \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} r_{2x} \\ r_{2y} \\ r_{2z} \end{pmatrix} }$$
hvis løsningen til ligningssystemet:
$${ \begin{pmatrix} Q_x \\ Q_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} r_{1x} \\ r_{1y} \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} r_{2x} \\ r_{2y} \end{pmatrix} }$$
giver at:
$${ \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} r_{1x} \\ r_{1y} \\ r_{1z} \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} r_{2x} \\ r_{2y} \\ r_{2z} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Q_x \\ Q_y \\ Q_z \end{pmatrix} }$$
Krydsprodukt
Vektorerne:
$${ \vec{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} \text{ og } \vec{b} = \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} }$$
Krydsproduktet:
$${ \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left| \begin{matrix} a_y & b_y \\ a_z & b_z \end{matrix} \right| \\ - \left| \begin{matrix} a_x & b_x \\ a_z & b_z \end{matrix} \right| \\ \left| \begin{matrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{matrix} \right| \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_y \cdot b_z - a_z \cdot b_y \\ a_z \cdot b_x - a_x \cdot b_z \\ a_x \cdot b_y - a_y \cdot b_x \end{pmatrix} }$$
\(\vec{c}\) står vinkelret på den plan, der udspændes af \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\):
$${ \vec{a} \bullet \vec{c} = 0 \text{ og } \vec{b} \bullet\vec{c} = 0 }$$
Areal, parallelogram
Et parallelogram udspændt af vektorerne:
$${ \vec{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} \text{ og } \vec{b} = \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix} }$$
har arealet:
$${ T = \left| \vec{a} \times \vec{b} \right| }$$
Vinkel
$${ \sin (v) = \frac{ \left| \vec{a} \times \vec{b} \right| }{ \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| } }$$
Plans ligning på normalform
En plan med normalvektoren:
$${ \vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} }$$
som indeholder punktet:
$${ P_0 = (x_0, y_0, z_0) }$$
har ligningen:
$${ a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z + d = 0 }$$
hvor
$${ d = −a · x0 − b · y0 − c · z0 }$$
Skæringslinjen mellem to planer
Parameterfremstillingen for skæringslinjen mellem planerne:
$${ \alpha : a_1 \cdot x + b_1 \cdot y + c_1 \cdot z + d_1 = 0 }$$
$${ \beta : a_2 \cdot x + b_2 \cdot y + c_2 \cdot z + d_2 = 0 }$$
er givet som:
$${ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ \frac{(a_2 \cdot c_1 - a_1 \cdot c_2) \cdot t + c_1 \cdot d_2 - c_2 \cdot d_1}{b_1 \cdot c_2 - b_2 \cdot c_1} \\ \frac{(b_2 \cdot a_1 - b_1 \cdot a_2) \cdot t + b_2 \cdot d_1 - b_1 \cdot d_2}{b_1 \cdot c_2 - b_2 \cdot c_1} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} t \\ \frac{a_2 \cdot c_1 - a_1 \cdot c_2}{b_1 \cdot c_2 - b_2 \cdot c_1}\cdot t + \frac{c_1 \cdot d_2 - c_2 \cdot d_1}{b_1 \cdot c_2 - b_2 \cdot c_1} \\ \frac{b_2 \cdot a_1 - b_1 \cdot a_2}{b_1 \cdot c_2 - b_2 \cdot c_1} \cdot t + \frac{b_2 \cdot d_1-b_1\cdot d_2}{b_1 \cdot c_2 - b_2 \cdot c_1} \end{pmatrix} }$$
Vinklen mellem to planer
Vinklen mellem planerne \(\alpha\) og \(\beta\) med normalvektoren \(\overrightarrow{n_\alpha}\) og \(\overrightarrow{n_\beta}\) beregnes som den mindste værdi af:
$${ v = \cos^{-1} \left( \frac{\overrightarrow{n_\alpha} \bullet \overrightarrow{n_\beta}}{\left| \overrightarrow{n_\alpha} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n_\beta} \right|} \right) \text{ eller } v = 180^\circ - \cos^{-1} \left( \frac{\overrightarrow{n_\alpha} \bullet \overrightarrow{n_\beta}}{\left| \overrightarrow{n_\alpha} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n_\beta} \right|} \right) }$$
Vinklen mellem en linje og en plan
Vinklen mellem en plan med normalvektoren \(\vec{n}\) og en linje med retningsvektoren \(\vec{r}\) er givet som den positive af:
$${ v = 90^\circ - \cos^{-1} \left( \frac{\vec{n} \bullet \vec{r}}{|\vec{n}|\cdot |\vec{r}|} \right) }$$
Eller:
$${ v = \cos^{-1} \left( \frac{\vec{n} \bullet \vec{r}}{|\vec{n}|\cdot |\vec{r}|} \right) - 90^\circ }$$
Afstanden mellem et punkt og en plan
Afstanden mellem et punkt:
$${ P = (x_p, y_p, z_p) }$$
og en plan med ligningen:
$${ a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z + d }$$
er givet som:
$${ \mathrm{dist} = \frac{ \left| a \cdot x_p + b \cdot y_p + c \cdot z_p + d \right| }{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} }$$
Afstanden mellem et punkt og en linje
Afstanden mellem et punkt:
$${ P = (x_P, y_P, z_P) }$$
og en linje med parameterfremstillingen:
$${ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{pmatrix} }$$
er givet som:
$${ \mathrm{dist} = \frac{\left| \vec{r} \times \overrightarrow{P_0 P} \right| }{| \vec{r}|} = \frac {\left| \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \\ r_z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_P - x_0 \\ y_P - y_0 \\ z_P - z_0 \end{pmatrix} \right| } {\sqrt{r_x^2 + r_y^2 + r_z^2}} }$$
Afstanden mellem to linjer
Afstanden mellem to linjer:
$${l :\ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \overrightarrow{OP_0} + t \cdot \overrightarrow{r_l} \text{ og } m :\ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \overrightarrow{OQ_0} + s \cdot \overrightarrow{r_m} }$$
er givet som:
$${ \mathrm{dist} = \frac{\left| \vec{n} \bullet \overrightarrow{P_0Q_0} \right|}{|\vec{n}|} }$$
hvor:
$${ \vec{n} = \overrightarrow{r_l} \times \overrightarrow{r_m} }$$
Projektion af linje på plan
En projektionslinje, der går gennem skæringspunktet \(P_s = (x_s, y_s, z_s)\) mellem en linje med retningsvektoren \(\vec{r}\) og en plan med normalvektoren \(\vec{n}\), har parameterfremstillingen
$${ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_s \\ y_s \\ z_s \end{pmatrix} + t \cdot \overrightarrow{r_m} }$$
hvor:
$${ \overrightarrow{r_m} = \vec{r} - \frac{\vec{r} \bullet \vec{n}}{|\vec{n}|^2} \cdot \vec{n} }$$
Kuglens centrumsligning
For en kugle med centrum \(C = (x_0, y_0, z_0)\) og radius \(r\) er centrumsligningen:
$${ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 }$$
hvor \(P = (x, y, z)\) er et vilkårligt punkt på kuglen.
Tangentplan til en kugle
Ligningen for en plan, der tangerer en kugle med centrum \(C = (x_0, y_0, z_0)\) i punktet \(P = (x_P, y_P, z_P)\), er:
$${ a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z + d = 0 }$$
hvor:
$${ \vec{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_P - x_0 \\ y_P - y_0 \\ z_P - z_0 \end{pmatrix} }$$
og hvor:
$${ d = -a \cdot x_P - b \cdot y_P - c \cdot z_P }$$