Vektorfunktion
Stedvektoren til et punkt P på en banekurve betegnes ved vektorfunktionen:
$${ \overrightarrow{OP}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} }$$
\(x(t)\) og \(y(t)\) er banekurvens koordinatfunktioner.
Ret linje
En ret linje gennem et punkt \(P_0 = (x_0, y_0) \) med retningsvektoren:
$${ \vec{r} = \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \end{pmatrix} }$$
har parameterfremstillingen
$${ \overrightarrow{OP}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_x \cdot t + x_0 \\ r_y \cdot t + y_0 \end{pmatrix} }$$
En ret linje med hældningen \(a\), som skærer y-aksen i \((0, b)), kan beskrives ved vektorfunktionen:
$${ \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ a \cdot t + b \end{pmatrix} }$$
Cirklen
En cirkel med centrum \(C = (x_0, y_0)\) og radius \(r\) beskrives ved vektorfunktionen:
$${ \overrightarrow{OP}(t) = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} r \cdot \cos(t) \\ r \cdot \sin(t) \end{pmatrix} }$$
Ellipsen
En ellipse med storaksen \(2 · a\) og lilleaksen \(2 · b\), hvor aksernes skæringspunkt \(P_0 = (x_0, y_0)\), beskrives ved vektorfunktionen:
$${ \overrightarrow{OP}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a \cdot \cos(t) \\ b \cdot \sin(t) \end{pmatrix} }$$
Superellipsen
En superellipse med storaksen \(2 · a\) og lilleaksen \(2 · b\), som er sammenfaldende med koordinatsystemets akser, har koordinatfunktionerne:
$${ x(t) = a \cdot |\cos(t)|^{\frac{2}{n}} \vee x(t) = -a \cdot |\cos(t)|^{\frac{2}{n}} }$$
og:
$${ y(t) = b \cdot |\sin(t)|^{\frac{2}{n}} \vee y(t) = -b \cdot |\sin(t)|^{\frac{2}{n}} }$$
hvor \(n > 2\).
Afstand
Forskriften for afstanden \(d(t)\) mellem et punkt \(P_0 = (x_0, y_0)\) og banekurven for
$${ \overrightarrow{OP}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} }$$
er givet ved:
$${ d(t) = \sqrt{(x(t) - x_0)^2 + (y(t) - y_0)^2 } }$$
Sted, hastighed, fart og acceleration
Stedvektor:
$${ \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} }$$
Hastighedsvektor:
$${ \vec{v}(t) = \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix} }$$
Fart:
$${ \left| \vec{v}(t) \right| = \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} }$$
Acceleration:
$${ \vec{a}(t) = \begin{pmatrix} v_x'(t) \\ v_y'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x''(t) \\ y''(t) \end{pmatrix} }$$
Areal
Arealet \(T\) mellem x-aksen og linjerne \(x(t_1)\) og \(x(t_2)\) samt banekurven for:
$${ \vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} }$$
er givet som
$${ T = \int_{t_1}^{t_2} y(t) \cdot x'(t) dt }$$
hvor \( x(t_1) < x(t_2) \).
Kurvelængde
Længden \(L\) af et stykke af banekurven for \(\vec{r}(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} \) er givet som:
$${ L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 } dt \text{ hvor } t_2 > t_1 }$$
Overgangsformler mellem polære og cartesiske koordinater
Fra polær til cartesisk:
$${ \begin{aligned} x &= r \cdot \cos(\theta) \\ y &= r \cdot \sin(\theta) \end{aligned} }$$
Fra cartesisk til polær:
$${ x^2 + y^2 = r^2 }$$
$${ \tan(\theta) = \frac{y}{x} }$$